(M–4) Identités

En algèbre, il faut quelquefois multiplier des expressions entières. Par exemple, on peut écrire :

(a + b)c = ac + bc

Ce n'est pas une équation mais une Identité, une expression vraie pour trois nombres (a, b, c), n'importe lesquels . Par exemple si a = 3, b = 7, c = 5 :

(3 + 7)(5) = (3)(5) + (7)(5) = 15 + 35 = 50

Si on commence par l'addition :

(3 + 7)(5) = (10)(5) = 50

Les identités n'ajoutent aucune information sur les quantités qu'elles contiennent, parce qu'elles se vérifient quelque soit les valeurs de leurs termes. Elles sont cependant utiles pour remanier des équations et les rendre plus claires. L'identité écrite ci–dessus est précisément l'une des propriétés de base des nombres ("loi distributive"). De cette loi on obtient plus généralement

(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d

ce qui est une présentation meilleure, valable pour toutes les valeurs de (a,b,c,d). En particulier :

(a + b)² = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b

= a² + ba + ab + b²

= a² + 2ab + b²

Cela est très pratique (vous pouvez essayer pour quelques valeurs déterminées de a et b). De même

(a – b) ² = (a – b)(a – b) = (a – b)(a) + (a – b)(–b)

= a² – ba – ab + b²

= a² – 2ab + b²

Et encore deux dernières identités :

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

Nous verrons que la détermination des valeurs de a et b,est très utile dans la démonstration du Théorème de Pythagore.