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(20) la théorie de Newton sur "l'Attraction Universelle"

La lune tourne autour de la terre. Puisque sa taille ne change apparemment pas, sa distance reste à peu près identique, et par conséquent son orbite doit être proche d'un cercle. Pour maintenir la lune en déplacement circulaire, la terre doit exercer une attraction sur la lune, que Newton a appelé force de pesanteur, sinon elle s'en irait au loin.

Serait - ce la même force que celle qui attire tous les objets dans leur chute vers le bas ?

On dit que Newton s'est posé cette question en voyant une pomme tomber d'un arbre. John Conduitt, assistant de Newton, et mari de sa nièce, décrit ainsi l'événement quand il écrit la vie de Newton :



    En 1666 il s'est à nouveau retiré de Cambridge, chez sa mère, dans le Lincolnshire ,et tandis qu'il méditait dans un jardin, il lui vint à l'esprit que l'action de la pesanteur (qui fait tomber une pomme d'un arbre à terre) ne se limite pas à une certaine distance de la terre, mais se prolonge beaucoup plus loin qu'on le pense d'habitude. Pourquoi pas jusqu'à la lune, se dit il : cela doit influencer son mouvement et peut-être la maintenir dans son orbite. Il se mit à calculer ce que serait l'effet de cette interaction...
( Keesing, R.G., The History of Newton's apple tree, Contemporary Physics, 39, 377-91, 1998)


Si c' est la même force, alors il existe un rapport entre la chute des objets et le mouvement de la lune autour de la terre, donc sa distance et sa période orbitale. Nous savons que la période orbitale est le mois lunaire, corrigée du mouvement de la terre autour du soleil, qui allonge la durée d'une "nouvelle lune" à la suivante. La distance a été estimée une première fois en Grèce antique -- voyez Ici et Ici .

Pour calculer la force qu'exerce la pesanteur sur la lune, on doit également savoir de combien elle serait diminuée en raison de la distance terre lune. Newton avait en effet montré que pour une distance R la valeur de la pesanteur est proportionnelle à 1/R2 ("l'inverse carré de la distance ") : donc la valeur de l'accélération g ,mesurée à la surface de la terre, permettrait de prévoir correctement la période orbitale T de la lune.

Newton alla plus loin et, proposait en considérant la pesanteur comme force "universelle", que les planètes soient maintenues dans leurs orbites par la pesanteur du soleil. Il pouvait dès lors démontrer que les lois de Kepler sont une conséquence normale de la loi de "l'inverse carré". Aujourd'hui tous les calculs des orbites des planètes et des satellites suivent cette démarche.

De nos jours, les étudiants qui calculent les lois de Kepler à partir de la loi de l' "inverse -carré" utilisent le calcul différentiel , un outil mathématique pour lequel Newton a eu une grande part de création. Il est cependant intéressant de noter que Newton n'a pas employé pour sa démonstration ce type de calcul, mais s'est appuyé sur les propriétés complexes des ellipses et autres sections coniques. Richard Feynman, prix Nobel de physique moderne, refit cette démonstration (comme quelques uns de ses distingués prédécesseurs) ; voir la référence en fin de section.

Nous allons maintenant retracer le raisonnement, qui lie la pesanteur observée sur terre avec le mouvement de la lune dans le ciel, deux observations apparemment indépendantes. Si vous voulez vérifier le calcul, une calculatrice de bureau est utile.

Calcul du mouvement de la lune

Nous supposons que l'orbite de la lune est un cercle, et que son attraction par la terre est toujours orientée vers le centre de celle ci. Notons RE le rayon moyen de la terre ( Estimée pour la première fois par Erathosthene)

RE= 6 371 km

La distance R à la lune est d'environ 60 RE. Une masse m sur terre y est soumise à une force mget, si la loi "inverse carrée" de Newton est valable, l'attraction pour la même masse placée à la distance de la lune serait 602 = 3600 fois plus faible et vaudrait :

mg/3600

Si m est en fait la masse de la lune, c' est la force qui la maintient sur son orbite.
Puisque l'orbite de la lune est un cercle de rayon de 60 R E, sa circonférence est de

2 π R = 120 p RE

En exprimant en secondes le temps T nécessaire à parcourir cette orbite, la vitesse v du mouvement est alors :

v = distance/temps = 120 π RE/T

(notez s.v.p. que la pesanteur n'est pas à l'origine de la vitesse de la lune. Celle ci a été probablement acquise lors de sa création. Mais la pesanteur empêche la lune de s'échapper, et la maintient dans son orbite.)

La force centripète retenant la lune dans son orbite doit donc égaler

mv2/R = mv2/(60 RE)

et si la pesanteur de la terre est cette force, alors :

mg/3600 = mv2/(60 RE)

La division des deux côtés par m et la multiplication par 60 permet de simplifier :

g/60 = v2/RE = (120 π RE)2/(T2 RE)

Chassons un facteur RE, multiplions les deux côtés par 60 T2 et divisons les par g, il reste :

T2 = (864 000 π2 RE)/g = 864 000 RE2/g)

Par chance, dans les unités que nous employons le ~ 9.81 de g est très proche de π2 ~ 9.87, de sorte que les termes entre parenthèses sont proches de 1 et peuvent être abandonnés. Il reste, en remplaçant par la valeur:

T2 = (864 000) (6 371 000)

Avec une petite calculatrice, il est facile de trouver les racines carrées des deux termes. Nous obtenons (à l'exactitude de 4 décimales)

864 000 = (929.5)2       6 371 000 = (2524)2

Donc

T ≅ (929.5) (2524) = 2 346 058 secondes

Pour obtenir T en jours , divisons par 86400, le nombre de secondes par jour :

T = 27.153 jours

Une valeur assez proche de la valeur admise

T = 27.3217 days

   

La formule de la force de la pesanteur

Newton a correctement analysé ceci comme étant la confirmation "de la loi carrée inverse". Il proposa donc qu'une force F d'Attraction Universelle", reliant deux masses quelconques m et M, soit dirigée de l'une à l'autre, proportionnellement à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de leur distance r. Mis en formule (en ignorant ici le caractère vectoriel de la force) :

F   =   G   mM/r2

Si M est la masse de la terre, R son rayon et m la masse d'un objet quelconque tombant à la surface de la terre, on peut alors écrire

F   =   m   GM/R2   =   m g

D'ou :

g   =   GM/R2

Le G majuscule est la constante d'attraction universelle. C'est le nombre à connaÓtre pour calculer l'attraction de la gravité entre deux sphères de 1 kilogramme chacune, par exemple. ¿ la différence de celle de l'attraction de la terre, dont la masse M est énorme, cette force est très petite, et de même le nombre G est très, très petit. La mesure de cette minuscule force en laboratoire est un exploit difficile.

Il fallu plus d'un siècle avant qu'elle ne soit réalisée pour la première fois. C'est seulement en 1796 que Henry Cavendish, compatriote de Newton, mesura la si faible attraction de la gravité, en analysant la légère torsion d'un balancier suspendu à un long fil et muni de poids attirés par la pesanteur d'un troisième objet lourd. Un siècle plus tard (comme déjà dit) le physicien hongrois Roland E–tv–s a considérablement amélioré l'exactitude de telles mesures.

En savoir plus :

Un site au sujet de l'histoire de l'inspiration de Newton au sujet de la force de pesanteur, qui lui est venue en regardant tomber une pomme d'un arbre.

Un article détaillé : Keesing, R.G., The History of Newton's apple tree, Contemporary Physics, 39, 377-91, 1998

Les calculs de Richard Feynman peuvent être trouvés dans le livre "Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun" de D. L Goodstein et J. R. Goodstein (Norton, 1996) revu par Paul Murdin dans Nature, vol. 380, p. 680, 25 April 1996). Ce calcul est aussi démontré en détail dans "On Feynman's analysis of the geometry of Keplerian orbits" de M. Kowen et H. Mathur, Amer. J. of Physics, 71, 397-401, April 2003.

Un article dans un journal éducatif au sujet des sujets discutés ci-dessus : The great law par V. Kuznetsov. Quantum, Sept-Oct. 1999, p. 38-41.


Prochaine étape: #21 La troisième Loi de Kepler

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      Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org

Traduction française: Guy Batteur guybatteur(arobase )wanadoo.fr


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Dernière mise à jour : 25 Novembre 2001