(M-9) Calculs de certains sinus et cosinus

Le calcul du sinus ou du cosinus d'un angle quelconque demande un peu plus de maths qu'il n'est vu ici. Cependant, ce calcul pour quelques angles spéciaux est relativement facile.

Angles complémentaires

Notez d'abord que tous les triangles droits possèdent deux autres angles, aigus. Puisque la somme des trois angles (de tout triangle) vaut 180°,celle des deux angles aigus vaut 90°. Il s'en suit que si un des angles est exprimé en " A degrés ", l'autre (son "angle complémentaire") vaut (90° – A).

Le sinus et le cosinus ont été définis comme les rapports suivants

sin A = = (côté en face de A)/(grand côté)
cos A = (côté voisin de A)/(grand côté)

Puisque le côté qui est en face de A est celui qui est adjacent à (90° – A), il s'en suit que le sinus d'un angle est le cosinus de l'autre, et réciproquement :

sin A = a/c = cos (90° – A)
cos A = b/c = sin (90° – A)

Ceci est d'un grand secours : le calcul (par exemple) du sinus et du cosinus de 30° nous donne en prime le sinus et le cosinus de 60°.

sin 45° = cos 45°

sin² 45° = cos² 45°

sin²A + cos²A = 1

2 sin² 45° = 1

sin² 45° = 1/2

sin 45° = √(1/2)

sin 45° = 0.707107... = cos 45°

sin² 45° = 1/2 = 2/4

sin 45° = √(2)/√(4) = √(2)/2

(2) A = 30°, (90° – A) = 60°

SR = (1/2) PR

On note dans le schéma :

a = (1/2) c

a/c = 1/2 = sin 30° = cos 60°

sin² 30° = 1/4

sin² 30° + cos² 30° = 1

1/ 4 + cos² 30° = 1

Enlevons 1/4 des deux côtés

cos² 30° = 3/4

cos 30° = √(3)/ √(4) = √(3)/2  =  1.7320508/2

cos 30° = 0.8660254 = sin 60°

(3) A = 90° , (90° – A) = 0

cos A = b/c = 0

et puisque

1 = sin²A + cos²A = sin²A + 0

il s'en suit :

sin²A = 1     sin A = 1

Par conséquent

cos 90° = sin 0° = 0
sin 90° = cos 0° = 1

On peut établir un graphique assez correct de sinA et de cosA en utilisant les points ci-dessus.

(4) Niveau supérieur : A = 15°, (90° – A) = 75°

Les calculs et la table précédente sont courants dans pratiquement tous les cours ou textes sur la trigonométrie. Vous noterez cependant des lacunes entre 0° et 30°, et entre 60° et 90°. Si nous voulons développer l'angle A par étapes de 15°, nous avons maintenant besoin des sinus et des cosinus de 15° et de 75°.

Etes-vous intéressé ? Voici comment faire ; A vos calculatrices !

Dessinez un triangle ABC, avec un angle A égal à 30° et les deux angles de la base égaux à 75°. Menez alors la perpendiculaire BD sur C.A. (voyez le dessin à droite). Par symétrie, les côtés AB et C.A. sont de même longueur, que l'on note par la lettre a.

Le triangle ABD possède des angles de 90, 60 et 30 degrés, que nous avons évalués précédemment. Nous obtenons :

BD = a sin 30° = 0.5 a
AD = a cos 30° = 0.866025 a

Alors

DC = AC - AD = a - 0.866025 a = 0.133975 a

BD² + CD² = c² = (0.5 a)² + (0.133975 a)²
= 0.25 a² + 0.0179493 a² = 0.2679493 a²

Extraction de la racine carrée :

c = 0.517638 a

Avec 5 décimales (et en impliquant aussi l'angle complémentaire de 75°)

sin 15° = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75°
cos 15° = 0.500000/0.517638 = 0.96593 = sin 75°

Maintenant tracez votre graphique !