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(34c) I punti L4 e L5:
Un altro modo di ricavarli

Il seguente metodo per ricavare i punti L4 e L5 segue l'articolo "When Trojans and Greeks Collide" (Quando i Greci e i Troiani si scontrano) di I. Vorobyov, "Quantum," p. 16-19, Sett-Ott. 1999. È un metodo più breve, più elegante, più generale, ma richiede l'uso di sistemi di riferimento rotanti e l'uso dei vettori.
    Nota: Similmente al calcolo riportato nella sezione (34b), anche questo richiede una buona conoscenza di algebra. Non sono richieste nozioni di trigonometria, tuttavia vengono ampiamente usati i vettori. Come per l'altra sezione, se intendete studiare questo metodo di calcolo, è una buona idea stampare questa sezione su carta, per seguire bene i vari passaggi.

Supponiamo di avere 3 masse puntiformi (m1, m2, m3) orbitanti sotto l'azione della loro attrazione reciproca. Le tre masse formano un triangolo ABC i cui lati (R1, R2, R3) corrispondono alle masse in modo che R1 sia il lato opposto a m1, R2 sia opposto a m2 e R3 sia opposto a m3 (ved. Figura 1). Assumeremo che il moto abbia inizio nel piano del triangolo, e, poiché anche tutte le forze giacciono su quel piano, il moto resterà sempre sul piano.

È possibile che le tre masse mantengano le loro distanze reciproche, conservando invariata la forma del triangolo? Un tale triangolo deve poter ruotare attorno a un certo punto O con il periodo costante T. Vediamo ora se, con questo tipo di movimento, tutte le forze possono restare in equilibrio, e questo implicherebbe che la cosa è possibile.

Siano (r1, r2, r3) le distanze delle tre masse da O. Le loro velocità sono quindi

v1 = 2πr1/T         v2= 2πr2/T         v3 = 2 π 3/T

Sistemi di riferimento in rotazione

Di qui in avanti tutti i calcoli saranno svolti in un sistema di riferimento che ruota con le masse. In tale sistema il triangolo ABC è fisso e indeformabile, ma, oltre alle attrazioni gravitazionali, ogni massa è soggetta anche a una forza centrifuga. Le forze centrifughe sono dirette lungo (r1, r2, r3) e sono

m1v12/r1 = m1 (2π/T)2r1         m2v22/r2 = m2 (2π/T)2r2         m3v32/r3 = m3 (2π/T)2r3

Queste tre forze, dirette da O verso le tre direzioni (r1, r2, r3), devono essere incluse in ogni calcolo del moto in un sistema di riferimento rotante. Nel calcolo delle forze in un sistema di riferimento rotante, in genere entrano anche le forze di Coriolis. Tuttavia, queste forze agiscono soltanto su oggetti che si muovono rispetto al sistema rotante, e poiché le nostre masse conservano posizioni fisse nei tre vertici (A,B,C), le forze di Coriolis qui non compaiono.

I vettori

È ora conveniente introdurre nel calcolo i vettori -- vettori bidimensionali nel piano del triangolo, indicati con le lettere in grassetto. I vettori r1, r2 e r3 sono diretti verso l'esterno di O, e pertanto le forze centrifughe sono
m1(2π/T)2r1        m2(2π/T)2r2        m3(2π/T)2r3

Indichiamo la forza gravitazionale sulla massa m1 da parte della mass m2 con F12, e sulla massa m2 da parte della massa m1 con F21. Se le masse sono in equilibrio, la forza totale su ciascuna di esse, nel sistema di riferimento rotante, sarà zero:

F12 + F13 + m1 (2π)2r1 = 0

F21 + F23 + m2 (2π)2r2 = 0

F32 + F31 + m3 (2π)2 r3 = 0

Sommando tutte e tre le equazioni

F12 + F13 + F21 + F23 + F32 + F31   +   (2π)2 [m1r1 + m2r2 + m3r3] = 0

Tuttavia, per il terzo principio della dinamica

F12 = –F21.
F13 = –F31.
F23 = –F32.

E quindi la somma delle 6 forze gravitazionali è zero, lasciando perciò

(2π)2 [m1r1 + m2r2 + m3r3] = 0

oppure
[m1r1 + m2r2 + m3r3] = 0

Si può dimostrare che tutto questo richiede che il punto O, da cui vengono misurati (r1, r2, r3), sia il baricentro delle tre masse. Questo non è altro che l'estensione dell'affermazione (ved. la sezione 25) secondo cui, in un gruppo di oggetti in cui tutte le forze sono soltanto quelle che si esercitano tra di essi (come in questo caso l'attrazione gravitazionale tra le masse), il baricentro si mantiene fisso (lo stesso discorso può essere esteso facilmente a 4 o più oggetti).

Utili relazioni tra vettori

Adesso consideriamo i lati (R2, R3) del triangolo come se fossero tutti e due dei vettori (R2, R3), ciascuno diretto verso m1 (ved. Figura 2). Effettuandone la somma vettoriale, otteniamo

r1 = r2 + R3
r1 = r3 + R2
E, ovviamente
r1 = r1         

Moltiplicando le equazioni, nell'ordine qui riportato, per m2, m3 e m1, e poi sommandole:

r1 (m1 + m2 + m3) = [m2r2 + m3r3 + m1r1] + m3R2 + m2R3

Tuttavia, come si è visto precedentemente, la prima somma a secondo membro è zero (poiché O è il baricentro). Se indichiamo con M la massa totale:

(m1 + m2 + m3) = M

allora

M r1 = m3R2 + m2R3

Introduciamo ora altri due vettori

ρ2 = R2 (m3/M)             ρ3 = R3 (m2/M)

orientati nella stessa direzione di (R2, R3). Il tutto diventa semplicemente

r1= ρ2 + ρ3

Interpretiamo ora graficamente questa equazione. I vettori (ρ2, ρ3) hanno la stessa direzione di (R2, R3), e possono essere rappresentati dai segmenti AE e AD in Figura 3. Tuttavia l'equazione

r1 = ρ2 + ρ3

e le proprietà della somma tra vettori suggeriscono che, se AE rappresenta ρ2, e sommiamo ad esso un segmento che rappresenta ρ3 -- parallelo a AD e della stessa lunghezza -- allora la sua estremità coinciderà con il punto O (oppure, in altre parole, se si aggiunge un 4o punto a (A,D,E) per formare un parallelogramma, quel punto andrà a finire in O).

Adesso viene il trucco!

Le tre forze che agiscono sulla massa m1 -- cioè F12, F13 e m1(2πT)2r1 -- sono tutte in equilibrio. La loro somma vettoriale deve essere zero, e quindi, se disponiamo tutti e tre i vettori con l'estremità dell'uno sull'inizio dell'altro, otteniamo un triangolo chiuso.

I vettori sono paralleli a (R2, R3, r1), e perciò anche a (ρ3, ρ2, r1), per cui il triangolo dovrà avere la stessa forma del triangolo AEO, e le lunghezze dei suoi lati saranno nelle stesse proporzioni (cioè i due triangoli sono "simili").

La lunghezza di un lato del triangolo è proporzionale alla grandezza del vettore che rappresenta. Per cui

F12/F13 = ρ32

Eliminando le frazioni, moltiplicando ambo i membri per (F13ρ2) si ottiene

F12 ρ2= F13 ρ3

Precedentemente era stato dimostrato che


ρ 2 = R2 (m3/M)
ρ3 = R3 (m2/M)

Inoltre, per la legge della gravitazione di Newton, se G è la "costante di gravità"

F12 = G m1m2/R32
F13 = G m1m3/R22

Sostituendo queste espressioni nell'equazione   F12 ρ2 = F13ρ3 :

[G m1m2m3/M] R2/R32     =     [G m1m2m3/M] R3/R22

Dividendo entrambi i membri per le espressioni tra parentesi quadre

R2/R32 = R3/R22
ed eliminando le frazioni, moltiplicando entrambi i membri per R22R32 si ottiene infine

R33 = R23
da cui

R3 = R2

Comunque, avremmo potuto svolgere lo stesso calcolo relativamente alla massa m2, considerando i lati R1 e R3, e avremmo ottenuto R1 = R3. Ne deriva quindi che tutti e tre i lati del triangolo ABC devono essere uguali:

R1 = R2 = R3

Se vale questa relazione, è relativamente facile dimostrare che le 3 equazioni di equilibrio sono soddisfatte, e, conoscendo G, si può calcolare T. Il triangolo equilatero ABC fornisce così il completo equilibrio.


Il prossimo argomento: #35  Verso i pianeti e verso le stelle

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 21 Marzo 2005