|
|
|
|
|
|
|
Quando (VP) stesso viene elevato alla potenza Q-esimaQuanto vale [(102)]3 ? Ovviamente, dobbiamo moltiplicare 10 per se stesso molte volte. Dato che[(102)]3 dovrebbe moltiplicare quanto sopra per se stesso per un totale di 3 volte: in tutto 2.3=6 fattori di 10. In altre parole, se 10 è elevato alla seconda potenza, e il risultato è quindi elevato alla terza potenza, ciò è lo stesso che elevare 10 a (2.3) = 6a potenza. In realtà, lo stesso ragionamento può essere fatto per qualsiasi numero, purché esso sia elevato a potenze che sono numeri interi. Per ogni scelta di numeri interi P e Q, se si eleva un certo numero V alla potenza P e poi si eleva il risultato alla potenza Q, il risultato è come elevare il numero V alla potenza (P.Q): Per il passo successivo dobbiamo decidere – si può anche elevare V a una potenza che non sia un numero intero, e ciò cosa significa? Procediamo per tappe: prima mostriamo i passaggi formali di come viene fatto, mantenendo le stesse regole che sappiamo esistere per le potenze che sono numeri interi. Dopo di che possiamo interpretare il significato di ciò che è stato trovato. Diciamo che V = 10P in modo che P = log V. Elevando V alla potenza Q e mantenendo le stesse regole trovate per gli interi P e Q Facendo il logaritmo di entrambi i membri
In questo modo, dato un numero V, i logaritmi aiutano a calcolare VQ anche se Q non è un numero intero (come discusso di seguito). Le istruzioni sono:
– Trovate il suo logaritmo P, – Moltiplicate P per Q per ottenere Q log V. Diciamo che è il numero U. – Trovate il numero il cui logaritmo sia U, cioè, trovate 10U. Questo è il valore di VQ alla potenza di un numero reale arbitrario? (1) Possiamo inizare con un semplice esempio. Supponiamo che Quindi V è la radice quadrata di 10 o √10, approssimativamente 3,16227766... Se delle potenze a e b qualsiasi soddisfano la allora V si comporta come 101/2 o 100,5. Cioè, moltiplicandolo per se stesso: (2) Analogamente per la radice Q-esima di 10 – il numero che deve essere moltiplicato per se stesso Q volte per avere 10. Se essa venisse scritta come 101/Q, soddisferebbe l'equazione vista prima per x(a+b), con 101/Q moltiplicato per se stesso Q volte. (Non entriamo ora nel merito di come viene ricavata la radice Q-esima: esistono dei metodi.) Questo può anche essere espresso utilizzando l'equazione già vista in precedenza. Se 101/Q è elevato alla potenza Q-esima e la relazione precedente è ancora valida, allora Inoltre, se la relazione generale vale per due fattori qualsiasi, sia Elevando questo alla potenza P-esima Ciò consente formalmente di definire la potenza (P/Q), cioè qualsiasi numero razionale: prima si eleva V alla potenza 1/Q (cioè, si esegue la radice Q-esima di V), quindi si eleva il tutto alla potenza P-esima, moltiplicandolo per se stesso P volte. (3) Non vi è alcun buon metodo per elevare 10 a una potenza che sia "irrazionale", un numero che non può essere scritto sottoforma di frazione P/Q; per esempio, elevare 10 alla potenza √2 o π . Tuttavia, anche se tali numeri non possono mai essere espressi esattamente come una frazione, esistono dei metodi per approssimarli attraverso una serie di frazioni F1, F2, F3 ... che gli si avvicinano sempre di più; il log π, per esempio, è prossimo a 1022/7 e ancora più prossimo a 10355/113, e continuando questa sequenza (o più convenzionalmente, usando una sequenza di frazioni decimali), lo si può approssimare sempre di più quanto si vuole. In generale, i numeri N1, N2, N3 ... pari a 10 elevato alle potenze F1, F2, F3, approssimando il numero irrazionale, si avvicineranno anche l'un l'altro. Si intuisce che se il procedimento è portato abbastanza avanti, il risultato rappresenta 10 alla potenza irrazionale nel modo più accurato che si possa desiderare. =========================== Un esempio di elevazione di numeri alla potenza 3/2, che mostra anche una applicazione grafica dei logaritmi, si trova nella terza legge di Keplero. Supponiamo di voler esaminare quella legge. Abbiamo la lista delle distanze medie R dei pianeti dal Sole e dei corrispondenti periodi orbitali T, ed essi aumentano insieme, sebbene non in stretta proporzione. Sospettiamo che T sia una qualche potenza di R – ma come possiamo accertarcene, e come possiamo trovare quanto vale tale potenza? I dati (si veda la sezione sulle leggi di Keplero)
Già sappiamo, naturalmente, che Keplero scoprì che T2 era proporzionale a R3 (così le colonne 4 e 5 dovrebbero essere uguali, tranne che i valori usati qui non sono accurati), la famosa terza legge di Keplero. Essa può essere scritta come con K, un numero che dipende dalle unità usate per T e R. Ma supponiamo di essere al posto di Keplero – tutto ciò che abbiamo sono le tabelle sulla sinistra che ci danno i valori corrispondenti di T e R (ora, ignoriamo il fatto che Keplero non sapeva nulla degli ultimi 3 pianeti elencati!). Come si può trovare la relazione? Tracciando T in funzione di R si ottiene solo una curva: c'è un modo per scoprire di che curva si tratta? I logaritmi ce lo forniscono. Supponiamo che la curva soddisfi una relazione del tipo Facendo il logaritmo di ambo i membri (se i membri sono uguali, anche i loro logaritmi sono uguali) Ora disegnamo un sistema di coordinate (x, y), e per ogni pianeta, assegnamo x=logR e y=logT . L'equazione della retta y in funzione di x è allora Se la nostra scelta della formula T = K RN è stata accurata, otterremo una linea retta y=b+Nx la cui pendenza è N; cioè, dati due punti qualsiasi su di essa, (x1, y1) e (x2, y2), allora Se la scelta è stata sbagliata, la linea non sarà una retta. Si noti che la scelta delle unità per T (anni, secondi ...) e R (unità astronomiche, chilometri, miglia ...) non importa. Se le unità utilizzate per misurare T cambiano, T viene sostituita da qT, dove q è un certo numero costante. Quindi log T viene sostituito da (log q + log T) e perciò si modifica solo il valore di b = log K. Nella tabella di cui sopra, utilizzando il periodo della Terra e la sua distanza media come unità, il punto fornito dalla Terra è (x, y) = (0,0); pertanto b = 0, e scegliendo l'origine come secondo punto, l'equazione della pendenza si semplifica in dove (x, y) è un qualsiasi punto sul grafico. Siete invitati a disegnare il grafico e a convincervi che l'esponente è davvero 3/2. Ulteriori approfondimentiAltri esponenti frazionari emergono dalle leggi dei gas. Potreste aver imparato che in un gas la pressione P di una data quantità di gas (diciamo, un grammo) è inversamente proporzionale al suo volume VQuando il gas viene compresso a metà del suo volume, la sua pressione raddoppia. Ciò, tuttavia, vale solo se la temperatura rimane la stessa. Infatti, quando si pompa gas in un contenitore di metà volume, non solo si genera una pressione più elevata, ma si investe energia per vincere la pressione del gas già presente. Come risultato (come ben sanno coloro che usano i gonfiatori per biciclette) il gas si riscalda, e la pressione aumenta più del doppio. Ne risulta che se non c'è scambio di calore tra dentro e fuori, una buona approssimazione per la legge del gas è Dove γ (la lettera minuscola greca g) è circa 7/5 per l'aria e per i gas dove si combinano due molecole identiche (azoto, ossigeno, idrogeno e cloro), e circa 5/3 per i gas "monoatomici" come l'elio, i cui atomi rimangono isolati. Tali "leggi adiabatiche dei gas" sono particolarmente importanti in grandi sistemi (ad esempio movimenti su larga scala nell'atmosfera), perché come il volume aumenta vi è sempre meno area di superficie attraverso cui ogni unità di volume può guadagnare o perdere calore, rendendo più difficile per gran parte del calore fluire dentro o fuori. |
Autore e Curatore: Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
stargaze("chiocciola")phy6.org
Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro
Aggiornato al 10 Novembre 2007