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(M-18)     Logaritmi Naturali

E come ottenere Logaritmi Approssimati più accurati

Basi dei Logaritmi

Come mostrato in precedenza, se log10 x = y (si legge "y è il logaritmo di x in base 10"), significa che x = 10y.

    Anche numeri diversi da 10 possono essere utilizzati come "base" di un insieme di logaritmi, sebbene a tali logaritmi manchi un importante vantaggio. Lo si vede meglio se x viene espresso in notazione scientifica. In tale notazione, ogni numero viene espresso come prodotto di un numero compreso tra 1 e 10, moltiplicato per una potenza di 10, ad esempio
x =1492 = 1,492 103
Quindi
log x = log 1,492 + 3 = 3,173769..

Allora 1,492 , la parte che dà la "struttura dettagliata" di x, fornisce la parte decimale del logaritmo ("mantissa"), mentre la potenza di 10 che dà la grandezza di x viene codificata solo nella parte intera del logaritmo ("la caratteristica"). Se la base non è 10, questa utile proprietà va persa e i logaritmi di numeri che abbiano le stesse cifre ma posizioni differenti della virgola (ad esempio 1492 e 14,92) danno logaritmi completamente diversi.

Ciò nonostante, talvolta anche una base diversa ha una convenienza.

Cambiamento delle Basi

Supponiamo che un certo numero "A" venga scelto come base dei nostri nuovi logaritmi. Allora se
      x = Ay                           (1)
ciò significa
      y = logA x                         (2)  

Qual è la relazione tra questi "nuovi" logaritmi e il "vecchio" logaritmo di x in base 10? Per convertire l'uno nell'altro, dobbiamo conoscere il "vecchio" logaritmo di A. Indichiamolo con B
    B = log10 A                       (3)
che significa
      10B= A                           (4)

Sostituiamolo in (1) e usiamo la formula per elevare una potenza di un numero ad un'altra potenza:

x = (10B)y = 10(By)                (5)

Calcolando i logaritmi (in base 10) e usando la (3) e la (2)

log10x   =   By   =   (log10 A)(logA x)   (6)            
quindi
 
(logA x)   =   (log10x )/ log10 A       (7)        

Così per "convertire" un vecchio logaritmo in base 10 in una nuova base A lo si deve solo moltiplicare per un numero costante 1/log10A .
    Quel numero costante può anche essere espresso in un modo diverso. Siccome (7) vale per OGNI valore di x, proviamo x=10

(logA 10) = (log1010 )/ log10 A       (8)      

Tuttavia, log10 10 = 1 (in risposta alla domanda, a quale potenza si eleva 10 per ottenere 10?). Quindi
(logA10) = 1/ log10 A               (9)

(si noti, per inciso, che per ogni base A, logA A = 1. "A quale potenza bisogna elevare A per ottenere A?"). Entrambi i lati della (9) possono quindi fornire il fattore costante di conversione.

I Logaritmi Naturali e l'Approssimazione Binomiale

    I logaritmi calcolati in base e sono chiamati logaritmi naturali e sono spesso indicati "ln" piuttosto che "log" (sebbene se andrete avanti nello studiare "calcolo", vi accorgerete che lì, il semplice "log" di solito significa un logaritmo naturale, mentre quelli in base 10, usati raramente, sono quelli che richiedono un pedice). Essi possono non essere il sistema più conveniente da usare nei calcoli, siccome (per esempio) i logaritmi naturali di 1,492 , 14,92 , 149,2 e 1492 hanno tutti aspetti molto diversi. Tuttavia, essi hanno una proprietà (usata da Henry Briggs nella concezione delle sue tabelle originali) che è estremamente utile: se un numero y è molto piccolo, allora con buona approssimazione

loge (1 + y)  ~  y                       (10)

Possiamo dedurre questa approssimazione usando il teorema binomiale di Newton (Newton visse un pò dopo, ma qui non ci soffermeremo su questo):

(1+y) n = 1  +  ny  +  [n(n–1) / (1.2)] y2  +  [n(n–1)(n–2) / (1.2.3)] y3 +...   (11)

    L'aspetto da notare qui è che se y è molto più piccolo di 1, y2 è molto, molto più piccolo, e potenze superiori sono ancora più piccole. Diciamo che y valga 1/1000, allora y2 vale 1/1.000.000, y3 = 1/1.000.000.000 e così via, e se l'esponente della potenza n è relativamente modesto (diciamo, 5,3), ignorando tutte le potenze di ordine superiore otteniamo l'approssimazione molto buona

(1 + y) n ~ 1 + ny                      (12)

Ora se x è un numero grande, diciamo 1000, allora con un'approssimazione molto buona

    (1 + 1/x) x ~ e                        (13)
e
  ey ~ (1 + 1/x) (xy)                     (14)

Se y è piccolo – diciamo dell'ordine di 1/1000, o di non molto più grande, xy rimane un numero "modesto" e l'approssimazione binomiale vale ancora

ey   ~  [1 + (1/x)(xy)]   =   1 + y       (15)      

Calcolate i logaritmi naturali di ambo i membri e vi ritroverete con la (10).

Uso di     loge(1 + y) ~ y

I calcoli mostrano che l'equazione (10) è solo l'inizio di una formula che può essere estesa senza limiti ("serie infinita")

loge(1 + y) = y – y2/2 + y3/3 – y4/4 + ...

    Se y è un numero positivo minore di 1, le potenze superiori diventano sempre più piccole, e il punto in cui decidiamo di fermare la serie determina l'accuratezza della nostra approssimazione (se è più grande di 1, le potenze superiori gradualmente diventano più grandi e la serie non può essere usata). Altre formule danno logaritmi ancora più velocemente.

Con valori molto piccoli di y, le potenze superiori sono molto piccole, quindi l'equazione (10)

      loge (1 + y)  ~  y                       (10)

può essere abbastanza precisa, e quindi per ogni n

   loge (1 + y)n  ~   ny                      

Così come fecero alcuni dei primi matematici, si può supporre (ad esempio)

   loge (1,000 001)   ~   0,000 001                      
e
   loge (1,000 001)n  ~  n (0,000 001)                      

Potrete facilmente raggiungere grandi valori di n elevando al quadrato più volte l'espressione all'interno del logaritmo. Ogni elevazione al quadrato raddoppia l'esponente, così otterrete numeri i cui logaritmi sono 2, 4, 8, 16, 54, 128, 256, ... fino a 1 048 576 volte (0,000 001)

   loge (1,000 001)1 048 576  ~   (1048576).(0,000001)  =   1,048576...                      

Esprimendo n in notazione binaria, questi risultati vi aiutano a calcolare il logaritmo di (1,000001) elevato a qualsiasi potenza intera n. Per esempio, in binario 135=10000111, quindi

(1,000 001)135  = (1,000 001)(128 + 4 + 2 + 1)  =              
  (1,000 001)128.(1,000 001)4.(1,000 001)2.(1,000 001)

tutti numeri i cui logaritmi approssimati sono noti. Moltiplicate quei numeri e otterrete il numero il cui logaritmo è (0,000135)
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Ma preferiamo non imporvi alcun lungo calcolo. Invece, come nella sezione (M-16), faremo ricorso a dei semplici trucchi per accelerare il calcolo di alcuni logaritmi. Questi però danno solo logaritmi "naturali" in base e : per ottenere da essi i corrispondenti logaritmi "comuni" in base 10, bisogna moltiplicarli per un certo fattore, calcolato qui di seguito.

Il Fattore di Conversione

Per convertire in e dai logaritmi naturali usando l'equazione (7) di cui sopra, dobbiamo conoscere uno dei fattori nella (9) :

log10e

Qui, di nuovo ci concediamo una approssimazione grossolana. Abbiamo trovato che e=2,71828.... Approssimativamente, perció

e  ~   2,7
Con tale approssimazione
10 e ~ 27 = 33

Calcolando i logaritmi comuni

log 10 + log e ~ 3 log 3 ~ 3 (0,475) = 1,425

Siccome log 10 = 1
        log e ~ 0,425                        (16)

    Il numero preciso è 0,434294... , e Henry Briggs (che usò qualcosa come la (10)), lo calcolò con più cifre decimali, anche se egli non era a conoscenza del numero "e" e i suoi legami con l'interesse composto. L'approssimazione (13) dovrebbe essere abbastanza accuarata per migliorare i nostri logaritmi grossolani di un bel pò. Tenete pronta la vostra calcolatrice! Avevamo
210= 1024 =(1000)(1,024)                
effettuando i logaritmi

10 log 2   =   3 + log (1,024)         (17)

Isolando il log x nell'equazione (7), con x=1,024 in questo caso e usando (10)

log 1,024   =   (loge1,024)(log10e)   ~   (0,024)(0,425)   =   0,0102

Così dalla (17)
10 log 2 ~ 3,0102                

        log 2   ~   0,30102                 (18)

Le tabelle forniscono 0,3010299.. Come mostrato nella sezione (M-16), i valori corrispondenti dei logaritmi di 4, 8 e 5 seguono subito. Dalla (18)

log 8 = log (23) = 3 log 2 ~ 0,90306

Simili passi danno allora il log 3:
34 = 81 = (80)(1,0125)
Facendo i logaritmi

4 log 3   ~   (1 + 0,90306) + (0,0125)(0,425)   =   1,9083725
quindi
        log3   ~   0,477093..               (19)
mentre le tabelle danno
log 3 = 0,47712...

    Così in entrambi i casi, l'accuratezza della nostra approssimazione è saltata dall'1% alla quinta cifra decimale, bene quasi come nelle tavole cartacee. Potete esplorare il log 7 da soli, usando l'approssimazione della sezione M-16. Possiamo anche cercare una migliore approssimazione dell'importante costante log e. Abbiamo

      e3   =  20,0855  ~   20               (20)

Facendo il logaritmo comune ad ambo i membri e usando la (18) di cui sopra

3 loge   ~   1 + 0,30102   =  1,30102      (21)       

Quindi
      loge   ~   0,43367                        (22)

Le tabelle danno 0,4342945..., quindi la (22) non ci dà un così grande miglioramento come la (18) o la (19), ma è ancora molto meglio della (16). Tuttavia, ora potete "reggervi da soli con le vostre gambe":

            20,0855 = 20.(1,004275)             (23)        

Calcolando di nuovo i logaritmi in base 10 della (20)

3 loge   ~   1 + 0,30102   + log 1,004275   (24)        

Dalla equazione (7) e usando la (22)

        log101,004275  =  (loge1,004275) . (log10e)   ~ (0,004275).(0,43367)   ~   0,001854

Perció
log10e   ~   (1,30102 + 0,001845) / 3   =   0,4342913...     (25)               

che ha una precisione a 5 cifre. E si può andare ancora oltre!

Ulteriori Approfondimenti

    Se avete accesso a una buona libreria universitaria, cercate "Logarithms!" (Logaritmi) nell' American Journal of Physics, vol. 46, p. 101, 1978.