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#M–7 Trigonometria

(M–6) Il Teorema di Pitagora

Pitagora di Samo era un filosofo Greco vissuto intorno al 530 AC, soprattutto nella colonia greca di Crotone nell'Italia meridionale. Secondo la tradizione fu il primo a dimostrare l'asserzione (teorema) che oggi porta il suo nome:

Se un triangolo ha i lati di lunghezza (a,b,c), con i lati (a,b) che racchiudono un angolo di 90 gradi ("angolo retto"), allora

a2 + b2 = c2

Un angolo retto può essere qui definito come l'angolo formato da due linee rette che si intersecano in modo che tutti e 4 gli angoli ottenuti siano uguali. Il teorema funziona anche all'inverso: se la lunghezza dei tre lati (a,b,c) di un triangolo soddisfa la relazione di cui sopra, allora l'angolo tra i lati a e b deve essere di 90 gradi.

Per esempio, un triangolo di lati a = 3, b = 4, c = 5 (pollici, piedi, metri--ciò che si vuole) è un rettangolo, perché

a2 + b2 = 32 + 42

= 9 + 16 = 25 = c2

Gli antici costruttori Egiziani possono aver conosciuto il triangolo (3,4,5) ed averlo usato (con aste o corde graduate) per costruire angoli retti; anche i costruttori di oggi possono ancora inchiodare assieme delle tavole di quelle lunghezze per rettificare un angolo.

Esistono diverse dimostrazioni e quelle più semplici sono probabilmente quelle basate sull'algebra, usando le identità elementari discusse nella sezione precedente, cioè

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(ricordiamo che 2ab significa 2 volte a per b). Per esempio:
      152 = (10 + 5)2
         = 102 + (2)(10)(5) + 52
         = 100 + 100 + 25    = 225

e

(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2

Per esempio:
      52 = (10 – 5)2
         = 102 – (2)(10)(5) + 52
         = 100 – 100 + 25    = 25

È anche necessario conoscere alcune semplici aree: l'area di un rettangolo è (lunghezza) per (ampiezza), così l'area di quello disegnato sopra è ab. Un taglio diagonale lo divide in due triangoli rettangoli con i lati corti a e b, e l'area di tale triangolo è perciò (1/2) ab.

Ora guardate il quadrato sulla sinistra costruito su quattro triangoli (a,b,c). La lunghezza di ogni lato è (a+b) e perciò l'intero quadrato ha un'area di (a+b)2.

Tuttavia, il quadrato può anche essere diviso in quattro triangoli (a,b,c) più un quadrato di lato c al centro (a rigor di termini, dovremmo anche provare che è un quadrato, ma salteremo quella parte). L'area di ogni triangolo, come mostrato prima, è  (1/2)ab, e l'area del quadrato è c2. Dal momento che il quadrato grande è uguale alla somma di tutte le sue parti

(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2

Usando l'identità per (a + b)2 e moltiplicando (4)(1/2) = 2

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Sottraete 2ab da ambo i membri e vi rimane

a2 + b2 = c2

Lo stesso risultato può anche essere visualizzato utilizzando un quadrato diverso, di area c2. Come mostra il disegno sulla destra, tale area può essere divisa in 4 triangoli come quelli di prima, con in più un piccolo quadrato di lato (a– b). Abbiamo

c2 = (4)(1/2)(a)(b) + (a– b) 2

= 2ab + (a2 – 2ab + b2)

= a2 + b2 Q.E.D.

Q.E.D. sta per "quod erat demonstrandum", in Latino per "come volevasi dimostrare", e nei libri di geometria tradizionali quelle lettere denotano la fine di una dimostrazione. L'importanza del lavoro di Pitagora e dei successivi maestri della geometria greca (specialmente Euclide) fu non solo in cosa essi dimostrarono, ma del metodo che svilupparono: partire da alcune affermazioni elementari che sono assunte come valide ("assiomi") e dedurre con la logica le loro conseguenze più complicate ("teoremi"). La Matematica segue ancora lo stesso modello.

  Per una applicazione pratica del teorema di Pitagora--ricavare la distanza dall'orizzonte (trascurando gli effetti atmosferici)--si guardi qui.


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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):
                                 stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Pietro Sauro

Aggiornato al 25 Novembre 2001