(M-9) Come Ricavare i Seni e i Coseni

Ricavare il seno o il coseno di un angolo arbitrario richiede un pò più matematica di quanta sia discussa qui. Tuttavia, ricavarli per alcuni angoli speciali è relativamente semplice.

Angoli complementari

Si noti prima di tutto che un triangolo rettangolo contiene due angoli. Dal momento che la somma di tutti e tre gli angoli (in ogni triangolo) è di 180°, la somma dei due angoli acuti è di 90°. Ne consegue che se uno degli angoli è di A gradi, l'altro (il suo "angolo complementare") è (90° − A).

Il seno e il coseno sono stati definiti come i seguenti rapporti:

sen A = (lato opposto ad A)/(lato lungo)
  cos A = (lato adiacente ad A)/(lato lungo)

Siccome il lato opposto ad A è quello adiacente a (90° − A), ne consegue che il seno di un angolo è il coseno dell'altro, e viceversa:

sen A = a/c = cos (90° – A)
cos A = b/c = sen (90° – A)

Questo è un grande aiuto: il calcolo (per esempio) del seno e del coseno di 30°ci dà anche, come bonus, il seno e il coseno di 60°.

sen 45° = cos 45°

sen² 45° = cos² 45°

sen²A + cos²A = 1

2 sen² 45° = 1

sen² 45° = 1/2

sen 45° = √(1/2)

sen 45° = 0.707107... = cos 45°

sen² 45° = 1/2 = 2/4

sen 45° = √2/√4 = √2/2

(2) A = 30°, (90° – A) = 60°

SR = (1/2) PR

Nella notazione del disegno

a = (1/2) c

a/c = 1/2 = sen 30° = cos 60°

sen² 30° = 1/4

sen² 30° + cos² 30° = 1

1/ 4 + cos² 30° = 1

Sottraendo 1/4 da ambo i membri

cos² 30° = 3/4

cos 30° = √3/ √4 = (√3)/2  =  1.7320508/2

cos 30° = 0.8660254 = sen 60°

(3) A = 90° , (90° – A) = 0

cos A = b/c = 0

e perciò

1 = sen²A + cos²A = sen²A + 0

ne consegue che

sen²A = 1     sen A = 1

Perciò

cos 90° = sen 0° = 0
sen 90° = cos 0° = 1

La tabella completa quindi mostra

Dovreste essere in grado di disegnare un grafico abbastanza buono di senA e cosA utilizzando i punti di cui sopra

(4) Postlaurea: A = 15°, (90° – A) = 75°

I calcoli e la tabella precedenti sono argomenti di base praticamente in ogni corso o testo di trigonometria. Potete osservare tuttavia gli intervalli tra 0° e 30°, e tra 60° e 90°. Se vogliamo che l'angolo A cresca a intervalli uguali di 15°, abbiamo ancora bisogno del seno e del coseno di 15° e 75°.

Siete interessati? Ecco come può essere fatto; tenete a portata di mano la vostra calcolatrice!

Disegnate il triangolo ABC, con l'angolo A uguale a 30° e i due angoli alla base uguali entrambi a 75°. Quindi disegnate la linea BD perpendicolare ad AC (si veda il disegno sulla destra). Per simmetria, i lati AB e AC sono della stessa lunghezza; si indichi tale lunghezza con la lettera a.

Il triangolo ABD ha angoli di 90, 60 e 30 gradi, ed è perciò del genere esaminato prima. Abbiamo

BD = a sen 30° = 0.5 a          
AD = a cos 30° = 0.866025 a

Quindi

DC = AC – AD = a – 0.866025 a = 0.133975 a

BD² + CD² = c² = (0.5 a)² + (0.133975 a)²
= 0.25 a² + 0.0179493 a² = 0.2679493 a²

Facendone la radice quadrata

c = 0.517638 a

Da essa, fermandoci ai 5 decimali (e considerando anche l'angolo complementare di 75°)

sen 15° = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75°
cos 15° = 0.500000/0.517638 = 0.96593 = sin 75°

Ora andate a disegnare il vostro grafico!