#21c     Vol vers Mars : les Calculs

Notations et vitesses d'Evasion

    Il faut d'abord établir une notation pour les quantités qui seront impliquées ici. Bien que certaines soient des vecteurs, seules leurs grandeurs seront manipulées. Le caractère "gras" n'est employé que pour souligner et n' indique jamais un caractère vectoriel.

    Comme précédemment, r₁ = 1 AU, distance terre- soleil , celle de Mars r₂ = 1.523691 AU. On admet (avec approximation) que les deux planètes se déplacent sur des cercles.

    La vitesse V sera mesurée en kilomètres par seconde (km/s), et les différentes vitesses seront identifiées par leurs indices. v minuscule identifie les vitesses liées aux orbites terrestres de la terre et non solaires.

    La section précédente a déjà présenté la vitesse orbitale V₀ de la terre autour du soleil, s'élevant à environ 30 km/s (plus avec précision, 29.77 km/s), beaucoup plus importante que les 8 km/s environ de v₀ ~ 8 km/s nécessaires à un satellite orbitant autour de la terre au ras de sa surface (en négligeant l'atmosphère !). On a noté dans la section 21 que la vitesse v_e d'évasion d'une orbite basse est obtenue en multipliant v₀ par la racine carrée de 2, égale à 1.41421356.... ici ,en valeur approchée : 1.414. Ce qui donne

    Un tel vaisseau spatial n'est toujours cependant pas libre de se déplacer n' importe où dans l'espace. La vitesse v_e a annulé l'influence de la pesanteur de la terre, mais pas celle de l'attraction du soleil, autour duquel il continue à se déplacer, sur une orbite semblable à celle de la terre, à V₀ =30 km/s .

    La situation est maintenant complètement analogue à celle nécessaire à s'échapper d'une orbite terrestre basse (seulement cela coûte plus cher !). Pour se libérer d'une orbite circulaire autour du soleil et quitter le système solaire, le vaisseau spatial doit amplifier sa vitesse "en une seconde vitesse d'évasion"

    Pour atteindre V_e il faut forcément encore augmenter la vitesse de 12.42 km/s par rapport à ce qui est demandé pour s'échapper de l'attraction de la terre, à partir de l' immobilité à sa surface. Heureusement, il y a des possibilités (discutées dans la section 35) pour fournir par le mouvement des planètes (ou de la lune) une partie de cette poussée.

    D'autres vitesses sont nécessaires au calcul : la vitesse V₁ avec laquelle le vaisseau spatial démarre pas loin de la terre et commence l'ellipse de Hohmann (à la distance r₁du soleil), et la vitesse V₂ avec laquelle il atteint l'orbite de Mars (à la distance r₂). En outre, il faut connaître V₃ , vitesse de Mars sur son orbite, en la supposant constante (c.-à-d. si l'orbite de Mars est supposée circulaire). Si V₂ > V₃,le vaisseau spatial rattrape Mars, tandis que si V₂ < V₃, il est rattrapé.

Equations Requises

    (1) Les Lois de Kepler

•     La première loi dit que "Les planètes se déplacent sur des ellipses, avec le soleil à l'un de ses foyers." Elle est "prête à l'emploi", et, par exemple, l'ellipse de transfert est une telle orbite.

•     La seconde loi dit que "la ligne reliant une planète au soleil parcourt des secteurs égaux en des périodes égales." Essayons d'en extraire une équation utile.

Application de la 2ème loi de Kepler

    Ce schéma montre l'orbite de Mars (en plein) et celle de l'ellipse de transfert (ligne pointillée), avec les rayons (r₁, r₂) respectivement au périgée et à l'apogée, là où la vitesse du vaisseau spatial atteint (V₁, V₂). Les courts segments dessinés en ces endroits représentent la distance couverte par le vaisseau spatial exactement une seconde aprés avoir dépassé le périgée ou l'apogée. De par la définition de la vitesse ("distance par seconde") ils égalent également V₁ et V₂. En fait, ces segments devraient être courbes comme l'orbite, mais ils sont si courts qu'ils diffèrent très peu de lignes droites, ce qui permet de les considérer comme les bases de longs triangles effilés.

    Notez que chacun de ces triangles est rectangle parce qu'à l'apogée et au périgée la ligne au soleil est perpendiculaire à l'orbite .(Et nulle part ailleurs)

    Au périgée, la hauteur du triangle est r₁, la longueur de sa base est V₁, donc, selon la formule des surfaces du triangle, A₁

    A l' apogée, la hauteur est r₂, la base V₂, et la surface du secteur est

    Chacun de ces triangles est balayé en une seconde, et, de par la 2ème loi de Kepler, leurs surfaces peuvent être considérées comme égales. Rapprochons les deux côtés de ces égalités :

    (L'équation est numérotée pour s'en rappeler ultérieurement). Veuillez noter que cette relation n'est valable que seulement au niveau de l'apogée et du périgée. A d'autres points de l'orbite, l'angle entre le rayon et l'orbite n'est pas de 90⁰, et l' évaluation de la surface dépend également de cette exactitude.

    La troisième loi de Kepler a été déjà employée pour déterminer la période orbitale. Elle sera encore nécessaire en fin de calcul.

    (2) La formule de l'Energie

    Dans la section #12 nous avons établi que l'énergie E d'un satellite de masse m tournant autour de la terre est, à un point quelconque de son orbite,

    Comme déjà dit, un objet en orbite terrestre qui échappe complètement à l'attraction du soleil (mais tout juste !), a une vitesse V_e = 1.414..V₀ = 42.42 km/s. Notons E₀ l'énergie d'un tel objet. Alors, puisque

nous obtenons (au niveau de l'orbite de la terre)

    Avec cette vitesse d'évasion, si nous attendons très longtemps, cet objet sera extrêmement loin et, ayant pratiquement épuisé toute son énergie cinétique, sa vitesse sera presque nulle. Alors les deux termes du côté droit de l'équation (2) tendent vers zéro, donnant :

    Divisons par m et chassons le signe négatif à droite

    la valeur de k peut donc s'écrire

Les Calculs

    Revenons maintenant au vaisseau spatial sur son orbite de transfert pour Mars, son énergie doit être la même au périgée P et à l'apogée A. Aussi, par l'équation (2)

    Divisez les deux côtés par m ("annulation de m"), et multipliez les deux côtés par 2

    Comme première étape, prenez l'équation (1) pour exprimer V₂ :

    Substitution de ceci au côté gauche de (4)

    Ceci peut être égalisé au côté droit de (4), et alors nous avons une équation pour l'étape (2) -- juste une équation, avec seulement une inconnue, à savoir V₁. Mais plutôt que de se précipiter, il est payant de séparer les facteurs autant que possible. Peut-être cela simplifiera- il quelque chose!

    Par une identité bien connue (voir également les "identités")

ainsi :             

    Prenez (6) comme référence et considérez le côté droit de (4). Nous pouvons y introduire un dénominateur commun : r₂:

    Par (4), les expressions (6) et (7) sont égales :

    Notre manœuvre a réussie : les deux côtés peuvent être divisés par (r₂ - r₁), ), ce qui enlève ces termes, et les deux côtés peuvent également être multipliés par r₂ , , pour simplifier. Si nous nous étions précipités plus vite, nos expressions pourraient avoir été beaucoup plus inextricables ! Il reste :

    Multipliez par r₂, divisez par (r₂ + r₁), ), et la quantité inconnue est isolée, au carré, mais c' est CORRECT :

    Il est temps de mettre en chiffres :

    Extraire les racines carrées des deux côtés () (Première loi de l' algèbre )

   
Si V₀ = 30 km/s

Cela montre qu'il faut juste ajouter 2.966 km/s, " un poil près " de 3 km/s, ou 10% de la vitesse orbitale.

Arrivée sur Mars

    Une partie de l'énergie cinétique moV_e a été perdue pour lutter contre l'attraction du soleil et des perturbations plus lointaines, à l'extérieur du système solaire. La question importante est maintenant de la comparer avec la vitesse V₃ ,celle de Mars sur son orbite .

    Pour calculer une vitesse en km/s, les distances doivent être évidemment données en kilomètres et les temps en secondes, mais " au grand profit de ceux qui rament " nous simplifions le calcul, en évitant grands nombres et notations scientifique. Nous commençons par la 3ème loi de Kepler pour orbites circulaires, avec une distance r en AU et une période orbitale T en années. Comme calculé dans la section précédente (et également dans la section 10), dans ces unités :

    Pour Mars, r = 1.523691, T² = (1.523691)³ = 3.53745

Suivons la valeur classique : 1.8822 ( parce que ici il y a eu quelques approximations). Si il y a 365.25 jours par année (julienne) :

    Pendant ce temps le vaisseau spatial parcourt :

    En divisant par T, on obtient :

Dans un jour, il y a (24)(3600) = 86400 secondes et donc la distance orbitale parcourue chaque seconde est

    Cette distance par seconde étant naturellement la définition de la vitesse. Par conséquent

Nous constatons que Mars se déplace plus rapidement, et rattrape le vaisseau spatial. Pour coordonner sa vitesse avec celle de Mars, le vaisseau spatial doit produire une poussée supplémentaire de 2.545 km/s.